İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖSTERDİĞİ EĞRİNİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARI BULMA

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun gösterdiği eğrinin (parabolün), eksenleri kestiği noktaları bulalım.

Parabolün y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfır olacağından, x = 0 alınırsa,
y = a.02 + b.0 + c = c olur.

O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0. c) noktasıdır.

Parabolün x eksenini kestiği noktaların ordinatları sıfır olacağından, y = 0 alınırsa,
0 = ax2 + bx + c denklemi elde edilir.

Bu denklemin kökleri x1 ve x2 ise parabolün x eksenini kestiği noktalar;(x1,0) ve(x2,0) olur.

ÖRNEKLER

1. y = x2 – 4 parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için, y = 02 – 4 = -4
O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, -4) tür.
y = 0 için, 0 = x2 – 4  x2 = 4  x1 = -2 v x2 = 2
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktalar; (-2, 0) ve (2, 0) dır.

2. y = 2x2 + 8 parabolünün varsa, eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için, y = 2.02 + 8 = 8 olduğundan, y eksenini kestiği nokta (0. dir.
y = 0 için, 0 = 2x2 + 8  2x2 = -8  x2 = - 4 gerçek kök yoktur.
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktası yoktur.

3. y = x2 – 3x + 2 parabolünün eksenlerini kestiği noktaları bulalım.

x=0 için, y=02–3.0 + 2 = 2 olduğundan, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, 2) dir.
y = 0 için, x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) (x – 1) = 0  x1 = 2 v x2 = 1 olduğundan, parabolün x eksenini kestiği noktalar, (2, 0) ile (1, 0) dır.

4. y = (x – 1)2 – 4 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için, y = (0 – 1)2 – 4 = 1 – 4 = -3 olduğundan, parabolün,
y eksenini kestiği nokta (0. –3) tür.
y = 0 için, (x – 1)2 – 4 = 0  (x – 1)2 = 4
x1 = 2 + 3 = 3
 x – 1 = 2
x2 = -2 + 1 = -1

O halde, grafiğin x eksenini kestiği noktalar; (-1, 0) ile (3, 0) dır.

y = ax2 + bx + c FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, biçimine dönüştürülebildiğini ve tepe noktasının, olduğunu göstermiştik.

Ayrıca, bu fonksiyonun x eksenini; (x1 , 0) ve (x2 , 0) noktalarında y eksenini de (0, c) noktasında kestiğini bulmuştuk.

Elde ettiğimiz bu bilgilere göre, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.






Tablodan da görüldüğü gibi, x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında, ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından, y fonksiyonu da (+) dan ya kadar azalır.

x değişkeni dan (+) a doğru artan değerler aldığında, y fonksiyonu da dan (+) a doğru artar.

Bu nedenle, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibi çizilir.









Tablodan görüldüğü gibi, x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında, ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından y fonksiyonu da (-) dan ya kadar artar. x değişkeni dan (+) a kadar artan değerler aldığında, y fonksiyonu da dan (-) doğru azalır.

O halde, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibidir.









ÖRNEKLER

1. y = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = -4 ve c = 3 tür.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan, tepe noktası T(2, -1) dir.
Eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulalım.
x = 0 için, y = 02 – 4.0 + 3 = 3  y eksenini kestiği nokta (0, 3) olur.
y = 0 için, x2 – 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 = 3, x2 = 1 olduğundan, x eksenini kestiği noktalar, (1, 0) ve (3, 0) bulunur.

Elde ettiğimiz bilgilerden yararlanıp değişim tablosu yaparak grafiği çizelim.






2. y = -x2 + x + 2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda a = -1, b = 1 ve c = 2 dir.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan, tepe noktası olur.

x = 0 için, y = 2 dir. O halde, y eksenini kesen nokta (0, 2) dir.
y = 0 için, -x2 + x + 2 = 0  x2 – x – 2 = 0  (x – 2) (x + 1) = 0
 x1 = 2 v x2 = -1 dir.

O halde, x eksenini kestiği noktalar; (2, 0) ve (-1, 0) dır.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.






3. y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

1. YOL: Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = 0 ve c = -4 tür.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan, tepe noktası T(0. 4) olur.

x = 0 için, y = -4 olduğundan grafik, y eksenini (0, -4) noktasında keser.
y = 0 için, x2 – 4 = 0  x2 = 4  x1 = 2 v x2 = -2 olduğundan, grafik x eksenini (-2, 0) noktalarında keser.





Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.






y = ax2 + c biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası T(0, c) dir. Bu nokta y ekseni üzerinde işaretlenerek a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğru, a < 0 ise, kollar aşağı doğru çizilir.





2. YOL: Yukarıdaki açıklamaya göre y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktas, T(0, -4) tür. a = 1 > 0 olduğundan, grafik yandaki gibidir.








4. y = x2 – 2x fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = -2 ve c = 0 dır.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan, tepe noktası T(1. -1) dir.

x = 0 için, y = 02 – 2.0 = 0  Grafik y eksenini (0. 0) noktasında keser.
y = 0 için, x2 – 2x = 0  x(x – 2) = 0 x1 = 0 v x2 = 2
Grafik, x eksenini (0, 0) ve (2, 0) noktalarında keser.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.






y = ax2 + bx + c parabolünde c = 0 ise, grafik orijinden geçer.

5. y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

y = a(x – r)2 + k biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası, T(r. k) idi.
O halde; y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun tepe noktası; T(1, -8) dir.
x = 0 için, y = 2(0 – 1)2 – 8 = -6 ise, grafik y eksenini (0, 6) noktasında keser.
x1 = -1
y = 0 için, 2(x – 1)2 – 8 = 0  2(x – 1)2 = 8  x – 1 = 2
x2 = 3
Grafik x eksenini, (-1, 0) ve (3, 0) noktalarında keser.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.







6. y = x2 +2x-1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda, a = x-1 , b = 2 ve c = -1 dir.

Tepe noktası, T(1, 0) dır.
x = 0 için, y = -1 ise, grafik y ekseni (0, -1) de keser.
y = 0 için, x2 + 2x-1 = 0 (x-1)2 = 0 x1 = x2 = 1

Grafik, ş eksenine (1, 0)noktasında teğettir. Niçin?

Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.







y = 0 ax2 + bx + c parabolümde, ax2 + bx + c = 0 denkleminin eşit iki kökü varsa yani,  = 0 ise, parabol tepe noktasında ş eksenine teğettir.

a<0 ise; a>0 ise;





7. y = x2-2x + 5 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen denklemde, a = 1, b = -2, c = 5 tir.

Tepe noktası T (1, 4) tür.

x = 0 için, y = 5 ise, grafik y ekseni (0, 5) noktasında keser.
y = 0 için, x2-2ş + 5 0  = 4 - 4.5 = -16<0 gerçek kök yoktur. Grafik x eksenini kesmez.

Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.






y = ax2 + bx + c parabolünde, ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri yoksa, yani <0 ise, grafik x eksenini kesmez.

a>0 ise; a<0 ise;






8. Yanda grafiği verilen,
y = mx2 + x +2 fonksiyonu,
P(2, 1) noktasından geçiyor
ise, m'yi bulalım.


P noktasının koordinatları, verilen fonksiyon denklemini sağlar. Yani,
y = -mx2 + x + 2
1 = m . 22 + 2 + 2 4m = 3 bulunur.

İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖRÜNTÜ KÜMESİNİN
EN BÜYÜK VEYA EN KÜÇÜK ELEMANINI BULMA

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmiştik. Şimdi bu grafikten yararlanarak fonksiyonun en küçük veya en büyük elemanını bulalım.

a>0 ise;





Grafikte görüldüğü gibi, x değişkeni ya kadar artarken, y fonksiyonu dan ya kadar azalmaktadır. x değişkeni, doğru artmaya devam ederken, y fonksiyonu da a doğru artmaktadır. Yani, y'nin en küçük değerini, olarak aldığı grafikte açık olarak görülmektedir.

Bu değere, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük (minimum) değeri denir.

a>0 olmak üzere, y = a2 + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük değeri, tepe noktasının ordinatıdır.

Yani, dır. En büyük değeri yoktur.

a<0 ise;







Grafiğe dikkat edilirse x değişkeni (-) dan ya kadar artarken, y fonksiyonu (-) dan ya kadar artmaktadır. x değişkeni, dan (+) doğru artmaya devam ederken, y fonksiyonu dan (-) a doğru azalmaktadır. Yani y nin en büyük değerini, olarak aldığı, grafikte açık olarak görülmektedir. Bu değere, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük (maksimum) değeri denir.

O halde; a < 0 olmak üzere, y = ax2 + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük değeri, tepe noktasının ordinatıdır.

Yani, k = dır. En küçük değeri yoktur.

ÖRNEKLER

1. y = 2x2 + x – 2 fonksiyonunun, görüntü kümesinin en küçük değerini bulalım.

Verilen fonksiyonda a = 2 , b = 1 , c = - 2 dir.
a = 2 > 0 olduğundan, fonksiyonunun görüntü kümesini en küçük değeri, k= dır.
K = olur.

2. y = -x2 + 4x + 2 fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değerini bulalım.

Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = 4 ve c = 2 dir.
a = -1 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri, dır.
olur.

3. f(x) = -4x2 + 2x + 1 – 2m fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değeri 4 ise, m yi bulalım.

Verilen fonksiyonda, a = -4 , b = 2 ve c = 1-2m dir.
a = -4 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri k dır. O halde, k = 4 olmalıdır.

k = 4  = 4 
 -16 + 32m – 4 = -64
 32m = -44  m = - olur.

4. y = -2(x – 1)2 + 5 fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değerini bulalım.

a = -2 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin, en büyük değeri k dır.
y = -2(x – 1)2 + 5 fonksiyonunda k = 5 olduğundan, istenilen değer 5 olur.