MATEMATİK
  ÜSLÜ VE LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
 

ÜSLÜ VE LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
İçinde bilinmeyen üs olarak bulunduğu eşitsizliklere üslü eşitsizlikler denir. Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.
SORULAR
1.3 < 4 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
Çözüm:
3 < 4--> log < log
= (x+1) . log < log < log
= x < -1 + log x < log - log
--> x < log ( ) olur.
2.log < 5 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.,
Çözüm:
= 0 < x-3< 2
= 3 < x < 35 tir.
3.ln( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
A = e> 1 ve ln( )< 0 olduğundan,
0< < 1 --> < x < 2 olur.
--> Ç = { x | < x < , x R } olarak bulunur.
4.log (2x-1)< -2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
= log (2x-1)< -2
= (2x – 1 )< -2
= log (2x-1)>2
= 2x – 1 > 2
= x > olur.
--> Ç = { x | x > , x R} olarak bulunur.
5.| 1-log (x – 3 ) | < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayı değeri vardır?
Çözüm:| 1-log (x – 3) | <2 --> | 1-(-log (x-3) ) | < 2
--> -2 < 1+ log (x-3) <2
-->-3
-->2 < x-3< 2
--> < x < 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değeri 4 tür.

6.x < 10 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
Eşitsizliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritması alınır
= log x < log10
= log x . log x < 1
= log x < 1
= -1 < log x < 1
= 10 < x < 10 olur.Bu eşitsizliği sağlayan x tamsayı değerleri 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olmak üzere dokuz tanedir.
7.log > -2 eşitsizliğini hangi aralık sağlar?
Çözüm:
= -log > -2
= log (x-4))< 2
= 0 < log < 2
= 2 < x-4 < 2
= 5 < x < 20 dir.
Uyarı: Logaritmalı eşitsizlikler çözülürken herhangi bir hataya meydan vermemek ve işlemleri kolaylaştırabilmek için eşitsizliklerdeki logaritma ifadelerinin tabanı 1 den büyük hale getirilir.
8.( konu ile ilgili karışık örnekler.)
log360 = x , log2 = y , log3 =z olduğuna göre , log 5 in değeri nedir?
Çözüm:
Log 360 = log(2 )
Log 360 = log2
Log 360 = 3log2 + 2log3 +log5
= 3y + 2z + log5
--> log 5 = x – 3y – 2z dir.
9.10 olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm:
10 ve e tir.
25 = 25 = 25 = 9 dur.
O halde ,
10 x + 2x = 9
--> x = 3 tür.
10. 5 olduğuna göre , 3log x + 2log y toplamı kaçır?

Çözüm:
--> 10.log = 2log
--> 10.log
--> 10.log
-->log dir...(*) Buna göre
3logx +2logy =log x =log x dır.
LOGARİTMA VE ÜSTEL FONKSİYONUN TERSİ
Üstel fonksiyonun tersi logaritma fonksiyonu olduğundan logaritma fonksiyonun tersi de üstel fonksiyondur. O halde,
Y = log f(x) veya y = a seklindeki bir fonksiyonun tersini bulmak için logaritma özellikleri kullanılarak x , y cinsinden bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir.
SORULAR
1. f(x) = 1 + log (x – 1) fonksiyonun , ters fonksiyonun bulunuz.
Çözüm:
Y = f(x) = 1 + log (x – 1)
--> y – 1 = log (x – 1)--> 2 = x – 1
--> x = 2 olur.
Y yerine x yazılırsa,
--> f bulunur.
2. f(x) = 5 fonksiyonun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Y= f(x) = 5 eşitliğin her iki tarafının 5 tabanında logaritmasını alalım
log log
x = log olur.
Y yerine x yazılırsa ,
f bulunur.
3. R fonksiyonun tersini bulunuz.
Çözüm:
--> y = 2log (x + 3)
--> log x + 5 =3
--> x = 3 -5 --> f -5
--> f
4.log olduğuna göre,log neye eşittir?
Çözüm:
log
tir...(*) buna göre,
log
5.log .log işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
=
=
6.log < 1 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
Çözüm:
log < 1 ise,
(2 – x > 0) ve (2 – x < 5 dir.
2 – x > 0 --> x < 2...(1) ve
2 – x < 5 --> x > - 3 ..(2) dir.
log (2 – x)< 1 eşitliğinin çözüm aralığı (1) ile (2) nin kesişimidir. O halde
x < 2 ve x > - 3 ise –3 < x < 2 dir.
7.log olduğuna göre , x kaçtır?
Çözüm:

-->log
--> (1+
-->
-->log
--> x = 4 tür.
8.log olduğuna göre , x sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
--> log
dur.
Buna göre;x sayısı 10 basamaklıdır.
9. log x = 4,25 olduğuna göre, colog x kaçtır?
Çözüm:
Log x =4,25 --> colog x = -4,25
--> colog x = -4,25 = - 4 – 0,25
=-4-1+1-0,25
=-5+0,75
= ,75 tir.
10.log (*) denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
Çözüm:
--> log
--> x
--> (x + 6)(x – 3) = 0 --> x + 6 = 0 veya x – 3 = 0 dır.
X + 6 = 0 --> x = -6 veya
X –3 = 0 -->x = 3 tür.
Negatif sayıların logaritması tanımlı olmadığı için x = -6 değeri (*) denklemini sağlamaz. Yani,x =-6 (*) denkleminin bir kökü değildir.
B una göre denklemin köklerinin toplamı 3 tür.

 
   
 
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=