ÜSLÜ VE LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
İçinde bilinmeyen üs olarak bulunduğu eşitsizliklere üslü eşitsizlikler denir. Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.
SORULAR
1.3 < 4 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
Çözüm:
3 < 4--> log < log
= (x+1) . log < log < log
= x < -1 + log x < log - log
--> x < log ( ) olur.
2.log < 5 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.,
Çözüm:
= 0 < x-3< 2
= 3 < x < 35 tir.
3.ln( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
A = e> 1 ve ln( )< 0 olduğundan,
0< < 1 --> < x < 2 olur.
--> Ç = { x | < x < , x R } olarak bulunur.
4.log (2x-1)< -2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
= log (2x-1)< -2
= (2x – 1 )< -2
= log (2x-1)>2
= 2x – 1 > 2
= x > olur.
--> Ç = { x | x > , x R} olarak bulunur.
5.| 1-log (x – 3 ) | < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayı değeri vardır?
Çözüm:| 1-log (x – 3) | <2 --> | 1-(-log (x-3) ) | < 2
--> -2 < 1+ log (x-3) <2
-->-3 -->2 < x-3< 2
--> < x < 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değeri 4 tür.

6.x < 10 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
Eşitsizliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritması alınır
= log x < log10
= log x . log x < 1
= log x < 1
= -1 < log x < 1
= 10 < x < 10 olur.Bu eşitsizliği sağlayan x tamsayı değerleri 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olmak üzere dokuz tanedir.
7.log > -2 eşitsizliğini hangi aralık sağlar?
Çözüm:
= -log > -2
= log (x-4))< 2
= 0 < log < 2
= 2 < x-4 < 2
= 5 < x < 20 dir.
Uyarı: Logaritmalı eşitsizlikler çözülürken herhangi bir hataya meydan vermemek ve işlemleri kolaylaştırabilmek için eşitsizliklerdeki logaritma ifadelerinin tabanı 1 den büyük hale getirilir.
8.( konu ile ilgili karışık örnekler.)
log360 = x , log2 = y , log3 =z olduğuna göre , log 5 in değeri nedir?
Çözüm:
Log 360 = log(2 )
Log 360 = log2
Log 360 = 3log2 + 2log3 +log5
= 3y + 2z + log5
--> log 5 = x – 3y – 2z dir.
9.10 olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm:
10 ve e tir.
25 = 25 = 25 = 9 dur.
O halde ,
10 x + 2x = 9
--> x = 3 tür.
10. 5 olduğuna göre , 3log x + 2log y toplamı kaçır?

Çözüm:
--> 10.log = 2log
--> 10.log
--> 10.log
-->log dir...(*) Buna göre
3logx +2logy =log x =log x dır.
LOGARİTMA VE ÜSTEL FONKSİYONUN TERSİ
Üstel fonksiyonun tersi logaritma fonksiyonu olduğundan logaritma fonksiyonun tersi de üstel fonksiyondur. O halde,
Y = log f(x) veya y = a seklindeki bir fonksiyonun tersini bulmak için logaritma özellikleri kullanılarak x , y cinsinden bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir.
SORULAR
1. f(x) = 1 + log (x – 1) fonksiyonun , ters fonksiyonun bulunuz.
Çözüm:
Y = f(x) = 1 + log (x – 1)
--> y – 1 = log (x – 1)--> 2 = x – 1
--> x = 2 olur.
Y yerine x yazılırsa,
--> f bulunur.
2. f(x) = 5 fonksiyonun ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Y= f(x) = 5 eşitliğin her iki tarafının 5 tabanında logaritmasını alalım
log log
x = log olur.
Y yerine x yazılırsa ,
f bulunur.
3. R fonksiyonun tersini bulunuz.
Çözüm:
--> y = 2log (x + 3)
--> log x + 5 =3
--> x = 3 -5 --> f -5
--> f
4.log olduğuna göre,log neye eşittir?
Çözüm:
log
tir...(*) buna göre,
log
5.log .log işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
=
=
6.log < 1 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
Çözüm:
log < 1 ise,
(2 – x > 0) ve (2 – x < 5 dir.
2 – x > 0 --> x < 2...(1) ve
2 – x < 5 --> x > - 3 ..(2) dir.
log (2 – x)< 1 eşitliğinin çözüm aralığı (1) ile (2) nin kesişimidir. O halde
x < 2 ve x > - 3 ise –3 < x < 2 dir.
7.log olduğuna göre , x kaçtır?
Çözüm:

-->log
--> (1+
-->
-->log
--> x = 4 tür.
8.log olduğuna göre , x sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
--> log
dur.
Buna göre;x sayısı 10 basamaklıdır.
9. log x = 4,25 olduğuna göre, colog x kaçtır?
Çözüm:
Log x =4,25 --> colog x = -4,25
--> colog x = -4,25 = - 4 – 0,25
=-4-1+1-0,25
=-5+0,75
= ,75 tir.
10.log (*) denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
Çözüm:
--> log
--> x
--> (x + 6)(x – 3) = 0 --> x + 6 = 0 veya x – 3 = 0 dır.
X + 6 = 0 --> x = -6 veya
X –3 = 0 -->x = 3 tür.
Negatif sayıların logaritması tanımlı olmadığı için x = -6 değeri (*) denklemini sağlamaz. Yani,x =-6 (*) denkleminin bir kökü değildir.
B una göre denklemin köklerinin toplamı 3 tür.