Logaritma Fonksiyonun Özellikleri:
a R -{1} olmak üzere ,
log a = 1 ve log 1 = 0 dır.
Örnek:
log 3 = 1 , log 1 = 0
2.Pozitif reel sayıların çarpımının logaritması , bu sayılar logaritmaları toplamına eşittir.
x ve y nin bütün pozitif reel sayı değerleri için ,
log (x.y)= log x + log y dir.
Örnekler:
·log 77 = log (7.11)= log 7+log 11
·log30 = log (2.3.5) = log 2 + log 3 + log 5
·ln 2 + ln 3 +1 = ln 2 + ln 3 + ln e
= (2.3.e) =ln (6e)
3.Pozitif iki reel sayının bölümünün logaritması, bölünenin logaritması ile bölenin logaritmasının farkına eşittir.
x ve y nin bütün pozitif reel sayı değerleri için,
log ( ) = log x - log y dir.
Örnekler:
· log( ) = log50 – log 3
=log(10.5) – log 3
=log 10 + log 5 – log 3
=1 + log 5 – log 3
· ln( ) = ln x – ln (y.z)
=ln x –(ln y + ln z)
=ln x – ln y – ln z
· log 4 + log 15 –log 6 = log(4.15) – log6
=log( ) = 1 dir.
4."n R ve "x R olmak üzere ,
log x = n.log x tir .
Örnekler:
· log 81 = log 3 = 4.log 3 = 4
· 3 log = log( ) = log 5
5.log x = . log x
Örnek:
log 3 = a ise, log 27 ifadesinin a cinsinde eşiti nedir ?
Çözüm:
log 27 = log 3 = .log 3 = log 3 = a
6.log x = log x ....... (n¹0)
7.log b . log c =log c
Örnek:
log 5.log 6.log 7.log 8 =?
=log 8
=log 2
=
8. log b =n --> log a =
Örnek:
log 5 = a olduğuna göre , log 15 in değeri nedir? (1985 öys)
Çözüm:log 15 = log (5.3) = log 5 + log 3
=1+
=
9. log x = log y --> x = y
Örnek:
Log(a + b) = log a + log b olduğuna göre, b nin a türümden değeri nedir ?(1987 ÖSS)
Çözüm:
Log (a + b) = log a + log b --> log(a + b) = log (a.b)
a + b = a.b
a =b(a – 1)
b =
Taban Değiştirme Kuralı
a¹1, b¹1 ve a,b,c pozitif reel sayılar olmak üzere,
log c = dir.
Bu eşitliğe taban değiştirme kuralı denir.
Sorular
1.log (log (x -7) ) = 0 olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm:
3 - x> 0 --> x< 3 ve 3 – x ¹ 1 --> x ¹2 olmak üzere,
-->log (x -7 ) = (3 – = 1
--> x - 7 = 2 --> x = -3 tür.



2. (log5) +(log2) + log25.log2 ifadesinin değeri nedir?
Çözüm:
=(log5) +(log2) + log5 .log2
=(log5) +(log2) +2log5.log2
=(log5+log2) = (log(5.2) ) =1 dir.
3.2x - ln (4 .3 ) + ln2 . ln3 =0 denkleminin kökleri x ve x dir.
Buna göre,| e - e | ifadesinin değeri nedir ?
Çözüm:
-->2x -ln( 2 .3) + ln2.ln3 = 0
-->2x - x ln(2 .3) + ln2.ln3 = 0
-->2x - (2ln 2 +ln 3)x + ln 2 . ln 3 = 0
-->(2x-ln 3) (x – ln 2) =0
-->x = ln 3 veya x = ln 2
-->x = ln3 = ln olur . O halde,
| e - e | = | e - e | = | -2 |
= 2- tür.
log x+2.log = log8 – 2.log x denklemini sağlayan x kaçtır?(1988 ÖSS)
Çözüm:
Log x - 2.log x =log8 – 2.log x
Log x = log8
X=8
5.log (2x –7) - log (x - 2) = 0 olduğuna göre , log x in değeri kaçtır?(1990 ÖYS)
Çözüm:
log (2x – 7)=log (x – 2)
2x – 7 =x –2
x=5 tir.
O halde
log x = log 5 = 1 bulunur.
6. ln a = p olarak verildiğinde , log a nin değeri nedir? (1988 ÖYS)
Çözüm:
Ln a = p --> log a = p
-->a = e
loga = 2.loga = 2.log e = 2p.log e dir.
7. + - ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
=log 7 + log 6 - log 2
=log ( ) =log 21 =1 dir.

8. log ifadesinin değeri kaçtır ?
Çözüm:
=log x = . log x
= - tür.
9. = x olduğuna göre, nin x ve z cinsinden değeri nedir?
Çözüm:
-->
-->log (y.z)= x
-->y.z = z
-->y = dir.
10. A= olduğuna göre nedir?
Çözüm:
log 5 = a denilirse log 2 = olur.
A =
=
= olur. O halde ,
= dir.
LOGARİTMALI VE ÜSLÜ DENKLEMLER
A ¹1 , a , f(x)>0 ve g(x)>0 olmak üzere logaritma fonksiyonu birebir olduğundan
log f(x) = log g(x) Û f(x) = g(x) tir.
SORULAR
7 +49 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
-->7 = -49 eşitliğinin her iki tarafının 7 tabanında logaritması alınırsa,
-->log
--> x = log tanımsız olduğundan Ç =Æ dir. ( O halde a>0 olmak üzere,
"x R için a >0 dır.)

ln x – 1 = 6 log denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır ?
Çözüm:
-->ln x – 1 =6
-->ln x – 1 =
-->( ln x ) – ln x – 6 =0 ln x = t denilirse,
-->t - t – 6 = 0
-->t veya t = 3
-->ln x = -2 ln x =3
-->x x
-->x dir.
3. log denkleminin sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
--> log +2
--> log
--> log
--> 5 - x = (x - 3)
--> x - 5x + 4 = 0
--> x = 1 veya x = 4 olur.
Burada x = 1 için x - 3< olduğundan verilen denklemde ki log (x – 3 ) ifadesi tanımsız olur. O halde Ç = { 4 } tür.
4. 2 log denklemini sağlayan x değeri nedir?
Çözüm:
-->log(
-->log( = log(2.10)
-->log( . ) = log20
--> = 20 x= 20 dir.
5. log denklemini sağlayan x değeri kaçtır ?
Çözüm:
-->log x + log
-->
-->(2 – 1 +
-->log -->x = 2 tür.
6.9 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
Çözüm:
-->(3
-->(3
-->3 veya 3 olur. Elde edilen eşitlikte her iki tarafın 3 tabanında logaritması alınırsa,
log -->x
log -->x bulunur. O halde, x dir.
7.2 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
a olduğundan ,
-->2
-->2.2
-->log
-->3 = x --> x = tür.
10 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
a olduğundan ,
-->10
-->2.10
-->ln x = 2 --> x =e dir.
8 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
-->(2
-->(2 eşitliğinin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alalım

tür.
x denkleminin kökleri çarpımı kaçtır?
Çözüm:


x – 2 = 0
-->(ln x – 2)(ln x + 1) =0
-->ln x = 2 veya ln x = -1
--> x x
-->x dir.
ONLUK LOGARİTMA
Her a reel sayısı ,
A=10 ve 1£ n <10 (0£ log n<1) seklinde üstel(ilmi)gösterimi yazılabilir . Bu yazılış kullanılarak loga =log(10 . n) = k + log n elde edilir. Burada k sayısına log a nın karakteristiği , log n sayısına da mantisi denir.

den Büyük Sayıların Logaritmalarının Karakteristikleri Ve Mantisleri
Örnekler:
Log 200 karakteristiğini ve mantisini bulalım
Log200 = log(2.10 )
=2 + log 2
=2+ 0.30103 olur.(log 2 =0,30103)
O halde;
Log 200 sayısının karakteristiği 2 , mantisi 0,30103 olarak bulunur.
Sonuç:
1 den büyük sayıların logaritmasının karakteristiği , bu sayının tam kısmındaki basamak sayısının bir eksiğine eşit olan tamsayıdır.
Örnek:
A = log(8877.044) sayısının karakteristiğini bulalım .
8877.044
4 tana basamak olduğundan a sayısının karakteristiği 4 – 1 = 3 olarak bulunur.
1 den Küçük Pozitif Sayıların Logaritmalarının Karakteristikleri ve Mantisleri
Örnek:
Log(0,0657) sayısının karakteristiğini ve mantisini bulalım.
Log(0.0657) = log(6.57.10 )
= - 2 + log (6.57)
= - 2 + 0,81757) = ,81757 olur.
(log(0,657) = 0,81757)
O halde
Log (0,0657)sayısının karakteristiği –2 , mantisi 0,81757 olarak bulunur.
Burada – 2 nin önündeki (-) işareti 2 nin üzerine alınarak şeklinde çevrilmiştir.
,81757 yazılışında (-) işareti sadece karakteristiğe aitir. Mantis daima pozitiftir
KOLOGARİTMA
x R olmak üzere, sayısının logaritmasına x in kologaritması denir .
colog x = log =-log x tir.
SORULAR
1. log 65700 sayısının karakteristiğini ve mantisini bulunuz.
Çözüm:
=log(6,57.10 )
=4 + log(6,57)
=4+ 0,81757 olur.
(log (6,57)= 0,81757) bu sayının karakteristiği 4 , mantisi0,81757 olarak bulunur.
2. log(1,563) = 0,... ve karakteristiği 0,
log (25,5) = 1,... ve karakteristiği 1,
log(547,74)=2,... ve karakteristiği 2,
log(1996)=3,... ve karakteristiği 3 tür.
3.log(0,003) sayısının karakteristiğini ve mantisini bulunuz.
Çözüm:
=log(3.10 )
=-3 + log3
=-3 + 0,47712= ,4771 olur. (log3 =0,4771) burada karakteristik –3 mantis 0,47712 olur.
4.log(0,572)= ,... ve karakteristiği -1
log(0,0205)= ... ve karakteristiği - 2
log (0,0034) = ... ve karakteristiği -3
log(0.000201)= ve karakteristiği -4
5. log x = 2.82008 ise colog x = - 2 in değerini hesaplayınız.
Çözüm: colog x =-log x = - 2,82008
=-2 + (-0,82008) ondalık kısmı pozitif yapmak için 1 sayısını bir ekleyip bir çıkartalım.
=-2-1+1-0,82008
=-3+0,17992
= ,17992 olarak bulunur.
6.log x = ,82033 ise colog x i hesaplayınız.
Çözüm:
Colog x = -log x = -(-1 + 0,82033)
= 1-0,82033
=0,17967 olarak bulunur.
7. log 2 = 0,30103 ve log 3 =0,47712 olduğuna göre , log( ) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
=log(2.10 )- log 3
=-2 + log 2 –log 3
= -2 + 0,30103-0,47712
= -2 – 1+ 1-0,17609
= -3 + 0,82391 = , 82391 dir.
8. log3 = 0,47712 olduğuna göre ,(810) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
X= (810) olsun. Eşitliğin her iki tarafının logaritmasını alalım.
Log x = log(810)
-->log x = 25 log 810
=25 log (3 . 10)
=25(1+4 log 3)
=25(1+4.0,47712)
=72,712 olur. Burada logaritmanın karakteristiği 72 olduğundan x sayısını basamak sayısı 72+1 =73 olur.
9.log 2 = 0,30103 olduğuna göre, log kaçtır?
Çözüm:
=
= (-5+4 log 2)
= (-5 + 4.0,30103)
= (-5 + 1,20412)
= (-4 + 0,20412)
=-2 + 0,10206) --> 2,10206 dır.
10.log8 = 0,90309 olduğuna göre , (80) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm: log8 =0,90309 ise x =(80) olsun.
Log x = log(80) ise log x = 90.log80
-->log x = 90.log(8.10)-->log x = 90.(1+log80)
-->log x =90.(0,90309+1)
= 90. 1,90309
=171,2781 dir. Log x in karakteristiği , x in basamak sayısından 1 eksik olduğuna göre , x =(80) sayısı : 171+1 =172 basamaklıdır.